給定一個一般的一次函數ax by-c＝0。此函數的定義域為(d,f)，那么，它的值域為(ad by－c＝0，af by－c＝0)，近一步化簡值域為b個定義域(c－ad，c-af)。因此一次函數是線性關系，也就是說，定義域就是值域，值域就是定義域。只是數乘一樣的倍數關系。
對于兩個任意點(a,b)，(c,d）滿足函數關系是一次函數。假設此時給定的正好是上段那個一般的一次函數ax by-c＝0。就會發現，這兩個點一定是定義域(d,f)的兩點，不可能是之外的點。而值域同定義域，在同個集合里，本身是無法區分的。因為集合中的關系，不同于我們解析關系。因此定義域和值域，本身就是一種域的關系。兩者本身就是同一種事物關系。只是此時我們參考的對象發生變化。而一次函數是絕對線性的關系。也就是說，所有關于一次函數的關系，反應在幾何上是線性的，反應在代數上是矩陣數乘運算。
定義域與值域的關系，要發散間斷那樣理解。定義域同值域總是相互變化值域的，但是每個元素的變化還是根據一次函數關系變化的。只是這種有兩種變化，一種變化是域之間的變化，一種是針對函數之間的變化。也就是說，我們所理解的一次函數，不僅是自變量與因變量的關系，應該還具有域的一些變化。而域自身的變化，才是有關于域的結構。函數關系，或者一次結構，也是另外一種關系。
所以我認為，我們對于函數的理解，是有一定問題存在的。就一次函數，關于域的問題，就是一般人無法體會到的。其實很多數學內容，關于函數問題的關系，還是非常多的。一次函數的微分結果是常數。常數變異之后的結果，又成了一次函數。這是常微分方程解釋函數結構的。但是一次函數，的確可以用初等方式，達到我們所要求的結果。為什么，又要從中把這種一開始就知道結果的東西，理解為數學中的一些函數關系。這就是讓人非常反感的事情。
一次函數在代數角度，就是關于數的一些基本運算。此時這種數的運算，本質是域與域之間的封閉運算。從幾何角度，就是線與點的位置關系。而要從常微分方程哪里解釋，就是變異常數與之前常數關系。這些判斷，本質都是解釋一次函數的。而一次函數，是最簡單，類似向量的一種方式。而這些方式，關鍵在于域的變化。也就是域的多重變化，才是一次函數代數上完美解釋。而非那種把一次函數，完全理解為對應關系那樣絕對。其實很多一次函數，除了自身域間的對應外，還應該有，值域與定義域之間的對應。此時才是一種完美一次函數關系。而完美的一次函數關系，我想只能是正比例函數關系。因為它正好是定義域同值域的倍數關系。也正好不需要多余的常數，或者此時只是量與量之間關系變化。
作者:owiijt
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