我讀初二的時(shí)候，其中一本教材就是薄薄的《常用對(duì)數(shù)表》。當(dāng)時(shí)很好奇，這個(gè)常用對(duì)數(shù)表是怎么算出來(lái)的。昨天看到李永樂(lè)對(duì)比3的361次方和10的81次方大小，又想起來(lái)這個(gè)初中時(shí)候的疑惑。網(wǎng)上搜到這個(gè)文章，覺(jué)得很有收獲，轉(zhuǎn)帖給大家。雖然不一定是當(dāng)時(shí)人的算法，但是也可以開拓我們的思維。

回到十七世紀(jì)，讓我來(lái)編算一本常用對(duì)數(shù)表

自十八、九歲學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)后，就覺(jué)得造對(duì)數(shù)表真不簡(jiǎn)單。據(jù)說(shuō)十七世紀(jì)那時(shí)，說(shuō)如果誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)表上有一個(gè)數(shù)字錯(cuò)，就獎(jiǎng)一兩黃金。

據(jù)百科百度：納皮爾(1550～1617年),蘇格蘭數(shù)學(xué)家,對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人。他的最大貢獻(xiàn)是發(fā)明了對(duì)數(shù)。納皮爾的杰作《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書》于1614年6月在愛(ài)丁堡出版。納皮爾的朋友，英國(guó)人布里格斯，將納皮爾創(chuàng)立的對(duì)數(shù)改為常用對(duì)數(shù),它才得到廣泛使用。并在1624年出版了《對(duì)數(shù)算術(shù)》，公布了以10為底包含1—20000及90000—100000的14位常用對(duì)數(shù)表。

1671年，著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（G.W.Leibnitz）制成了第一臺(tái)能夠進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算的機(jī)械式計(jì)算機(jī)。

可見(jiàn)，布里格斯編算常用對(duì)數(shù)表時(shí)，機(jī)械式計(jì)算機(jī)還未發(fā)明，看來(lái)只能是手算了。

我那時(shí)不知道十七世紀(jì)是怎樣編算對(duì)數(shù)表的。但我還是想自己親手來(lái)編一份，那怕為數(shù)很少也可以，只想弄明白，對(duì)數(shù)表是怎樣編算的。這一心愿幾十年來(lái)一直沒(méi)有了結(jié)。

想起二十世紀(jì)五六十年代，對(duì)數(shù)表不能離手，少了它就無(wú)法工作，真不勝感慨。當(dāng)70年代用上了飛魚牌手搖計(jì)算機(jī)后，就告別了六位對(duì)數(shù)表。當(dāng)80年代用上了電子計(jì)算器后，又告別了八位函數(shù)表和手搖計(jì)算機(jī)。在電腦已普及的今天，我仍有用手算方法來(lái)造對(duì)數(shù)表的想法，這似乎有點(diǎn)可笑，但“怎樣造原始的對(duì)數(shù)表”的問(wèn)題，仍牽引著我的心，一直想了此一事。

想不到年老了，竟靈光一閃，得到了一個(gè)造表方法，并且可以分配到許多人，各自獨(dú)立計(jì)算不同的數(shù)值范圍，最后匯集于一起，成為一本對(duì)數(shù)表，這樣就可以較快完成，不必化幾年、乃至幾十年時(shí)間了。

所謂常用對(duì)數(shù)，就是以10為底時(shí)，有方程10^D=Z。如果知道一個(gè)數(shù)Z (叫真數(shù))，則10的指數(shù)就是D， D就叫十進(jìn)對(duì)數(shù)，也叫常用對(duì)數(shù)。 給出Z，求D。 并以D = Lg Z表示之。例如10^D=2，給出2，求D。 并以D = Lg2表示之。查對(duì)數(shù)表可得D = Lg2 =0.30103，即10^0.30103 = 2 。亦即10的0.30103次方等于2。

10的整數(shù)次乘方可以算，可是0.30103次方怎么算呢？真是無(wú)法理解。但如果說(shuō)，因?yàn)?.30103=30103/100000，那末先算10的30103的次方，再開100000次方，倒是有道理的，但2的對(duì)數(shù)是0.30103，決不可能是這樣算的，所以仍很玄。那么2的對(duì)數(shù)是0.30103，到底是怎樣算出來(lái)的呢？

這么一想就有一個(gè)啟發(fā)，就是10的零點(diǎn)幾次方，可以這樣算：先乘方、再開方，而主要是開方。例如10的開平方，就是10的0.5次方。10的開3方，就是10的0.33333次方等等。受此啟發(fā)，經(jīng)反復(fù)試算，得到編算常用對(duì)數(shù)表的步驟和方法：

＄1 先求最基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)

1 、我想，世界上第一個(gè)常用對(duì)數(shù)，可能就是3.16227766的對(duì)數(shù)0.5。因?yàn)?3.16227766 = √10

= 10^（1/2）= 10^0.5 ，而0.5就是它的對(duì)數(shù)。10的開方，用筆算可以一次開出，也可以用逐步試算趨近。如先用3.16*3.16=9.9856，不夠，再用3.163*3.163=10.004569，超過(guò)了一點(diǎn)，再用

3.16228*3.16228 =10.0000147984…最后定為3.16227766。也就是說(shuō)3.16227766的對(duì)數(shù)為0.500000。

2、 第二個(gè)，可能就是2.15443469的對(duì)數(shù)為0.333333了。因?yàn)?.15443469 = 3√10 =10^（1/3）

= 10^0.33333 ，而0.3333333就是它的對(duì)數(shù)。10的開3方比較麻煩，可以逐步試算趨近。如先用2.15*2.15*2.15 = 9.9384，不夠，再用2.1544*2.1544*2.1544 = 9.99952，還不夠，再試，最后定為2.15443469。也就是說(shuō)2.15443469的對(duì)數(shù)為0.333333。

3 3.16227766的對(duì)數(shù)為0.500000。2.15443469的對(duì)數(shù)為0.333333…這樣的對(duì)數(shù)，我稱它們?yōu)?strong>最基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)。最基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)需要多少個(gè)呢？這里僅算出8個(gè)，我想也許夠了。 即只要計(jì)算：

10的1/2次方，亦即10的開2次方。注意2是素?cái)?shù)。

10的1/3次方，亦即10的開3次方。注意3是素?cái)?shù)。

10的1/5次方，亦即10的開5次方。注意5是素?cái)?shù)。

10的1/7次方，亦即10的開7次方。注意7是素?cái)?shù)。

10的1/11次方，亦即10的開11次方。注意11是素?cái)?shù)。

10的1/13次方，亦即10的開13次方。注意13是素?cái)?shù)。

10的1/17次方，亦即10的開17次方。注意17是素?cái)?shù)。

10的1/19次方，亦即10的開19次方。注意19是素?cái)?shù)。

就可以得到相應(yīng)的對(duì)數(shù)。用這些最基礎(chǔ)對(duì)數(shù)，再去拓展其他的對(duì)數(shù)。計(jì)算這些最基礎(chǔ)對(duì)數(shù)，只要用開方就可以了。開方雖然很煩，特別是開7次方以上時(shí)，要逐步、反覆連乘7次以上來(lái)校核改進(jìn)，的確很煩，但畢竟是可以用手工算得出來(lái)的。我想，在十七世紀(jì)時(shí)，也只能這樣硬算了。

4 、 而10的開4次方， 10的開6次方， 10的開15次方…就不必了，因?yàn)樗鼈兛梢愿鶕?jù)上述最基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)，就能方便算出的，不必白費(fèi)力氣了。

由 10 的 開 D 次 方 所 得 的 《基 礎(chǔ) 對(duì) 數(shù) 表》

＄2 基 礎(chǔ) 對(duì) 數(shù) 表 擴(kuò) 充

有了上面的最基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)之后，就根據(jù)對(duì)數(shù)基本原理：真數(shù)相乘除，對(duì)數(shù)便加減的方法，可將最基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)擴(kuò)充。例如：

1 (2√10)*(5√10) = 3.162277660*1.584893192=5.01187

相應(yīng)之對(duì)數(shù)為：0.500000 0.200000=0.70000

2 (2√10)/(5√10) = 3.162277660/1.584893192=1.99526

相應(yīng)之對(duì)數(shù)為：0.500000-0.200000=0.30000

3 這樣，擴(kuò)充后的對(duì)數(shù)，共96個(gè)，見(jiàn)下表：

基 礎(chǔ) 對(duì) 數(shù) 擴(kuò) 充 表， 由最基礎(chǔ)的真數(shù)和對(duì)數(shù)，經(jīng)真數(shù)乘除、對(duì)數(shù)加減而得。

當(dāng)然，這個(gè)表很小，數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。但可以作基礎(chǔ)，再通過(guò)多次交錯(cuò)乘除，得到更多的對(duì)數(shù)。但要想通過(guò)更多次交錯(cuò)乘除，得到全部對(duì)數(shù)，是不可能的，得另找出路。其實(shí)，只要設(shè)法先求出“素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)”，那就一勞永逸地解決問(wèn)題了。這張《基礎(chǔ)對(duì)數(shù)擴(kuò)充表》就為下一步求“素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)”作了準(zhǔn)備。

＄3 求素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)（注：采用的二分法）

大家知道，合數(shù)是素?cái)?shù)的乘積。所以，只要知道素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)，就可以用乘除、加減法，算出合數(shù)的對(duì)數(shù)。于是任何數(shù)的對(duì)數(shù)，都可以算出。那末，素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)怎樣求呢？

分兩步：

第一，選擇數(shù)據(jù)（選兩個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)）。在《對(duì)數(shù)擴(kuò)充表》內(nèi)，選擇盡量靠近所求素?cái)?shù)的兩個(gè)數(shù)。例如，要算2的對(duì)數(shù)，表中僅有真數(shù)1.99526與2.20220 其中1.99526離2很近，選中。而2.20220離2還遠(yuǎn)，我們就不用它，另找。方法是：仍利用上面的對(duì)數(shù)擴(kuò)充表，找到1.95393與1.03273，兩個(gè)數(shù)相乘，得：

1.95393*1.03273=2.01788，(離2很近了)，選中。其相應(yīng)對(duì)數(shù)為：

0.29091 0.01399=0.30490 。

這樣，就取1.99526與2.01788兩個(gè)數(shù)去內(nèi)插，求2的對(duì)數(shù)。1.99526與2.01788這兩個(gè)數(shù)，稱做逼近值。

第二，內(nèi)插法（二分法計(jì)算）。

真數(shù) 對(duì)數(shù)

a= 1.99526 A=0.30000

b= 2.01788 B=0.30490 求 Z=2 的對(duì)數(shù)。

在很小區(qū)間內(nèi)(所求值百分之一、二的誤差)，采用線性內(nèi)插公式

Lg Z = A (B-A)/(b-a)*(Z-a)

計(jì)算得Lg 2 = 0.30103

這個(gè)方法只用到乘，除、加、減，所以可用手算。為減少工作量，最好多采用乘法去找逼近值、內(nèi)插。

以下是 Lg 2、Lg 3、 Lg 5、Lg 7 、Lg41、Lg 43的計(jì)算過(guò)程：

數(shù) 據(jù) 準(zhǔn) 備 中 的 真 數(shù) 和 對(duì) 數(shù) ，來(lái)自 《基 礎(chǔ) 對(duì) 數(shù) 擴(kuò) 充 表》

＄5 分工合作、同心協(xié)力編常用對(duì)數(shù)表

最基礎(chǔ)對(duì)數(shù)→對(duì)數(shù)擴(kuò)充表→素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)→合數(shù)的對(duì)數(shù)，這樣的四個(gè)步驟，使許多人同時(shí)作業(yè)成為可能。組織分工如下：

1、先由少數(shù)人計(jì)算最基礎(chǔ)對(duì)數(shù)。要準(zhǔn)，取位要多，如編八位對(duì)數(shù)表，最基礎(chǔ)對(duì)數(shù)至少要取十位以上。

2、再由少數(shù)人，分工計(jì)算對(duì)數(shù)擴(kuò)充表。最基礎(chǔ)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)擴(kuò)充表便作為公用。

3、組織許多人，同時(shí)計(jì)算素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)。每人分擔(dān)一段，如1—50 、50—100 、 101—200 、 201—400…在各自范圍內(nèi)，計(jì)算素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)。素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)也作為公用。

4、組織許多人，同時(shí)計(jì)算合數(shù)的對(duì)數(shù)。也是每人分擔(dān)一段，既互用成果，又互不干涉。

5、每人每天的成果，匯總公布，以便下一步工作時(shí)互相利用，提高工效。

結(jié) 語(yǔ)

假如把乘除比作一條洶涌的河，那末對(duì)數(shù)表就是一座平緩的橋。它使眾多的實(shí)用計(jì)算者，較輕松的到達(dá)彼岸，極大的提高工作效率。但時(shí)隔三百年至于今天，那些造橋的人，乃至造橋的方法，己淹沒(méi)在歷史的巨卷之中，對(duì)數(shù)表也進(jìn)入了歷史博物館。

我們紀(jì)念逝去的人，還要發(fā)愿：要發(fā)揚(yáng)先輩追求真理、為全人類效力的精神，為科學(xué)的理性發(fā)展而學(xué)習(xí)、而奮斗！