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大家好，我是專(zhuān)注于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的老呂。從今天開(kāi)始就開(kāi)始學(xué)習(xí)新的一章，叫做一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。有過(guò)高中教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的老師們都知道導(dǎo)數(shù)一般會(huì)出現(xiàn)在高考的壓軸題的當(dāng)中，而且也是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性的東西。
先看對(duì)于書(shū)當(dāng)中的要求，書(shū)中的前沿部分已經(jīng)明確了導(dǎo)數(shù)通過(guò)函數(shù)的概念是刻畫(huà)靜態(tài)、數(shù)額與刻畫(huà)動(dòng)態(tài)現(xiàn)象的函數(shù)的重要概念。在函數(shù)深入研究當(dāng)中創(chuàng)建了微積分，說(shuō)明微積分的作用會(huì)分兩次去解決這個(gè)問(wèn)題。
·第一個(gè)就是先講倒數(shù)，倒數(shù)的概念需要知道什么？
·第二個(gè)就要講一下微積分和倒數(shù)之間的關(guān)系。微積分的創(chuàng)立主要于四類(lèi)科學(xué)問(wèn)題有關(guān)：一是路程與時(shí)間函數(shù)，二是曲線的切線，三是函數(shù)最大至最小值，還有四個(gè)球長(zhǎng)度、面積、中心等這樣的問(wèn)題。
然后倒數(shù)是微分當(dāng)中的核心，為積分當(dāng)中一個(gè)合集體現(xiàn)了現(xiàn)在函數(shù)基本概念。在這里邊一定要注意這句話，倒數(shù)是定量刻畫(huà)函數(shù)局部，局部的變化一定要搞清楚研究函數(shù)的增減、變化的快慢、最大最小值等的基本方法，因而在解決諸多增長(zhǎng)率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實(shí)際問(wèn)題的基本工具。
所以在本章就要學(xué)習(xí)導(dǎo)出的概念，導(dǎo)出的基本運(yùn)算體會(huì)導(dǎo)出的內(nèi)涵和思想感悟極限的思想。
接下來(lái)來(lái)看一下導(dǎo)數(shù)的概念。在導(dǎo)數(shù)的概念的過(guò)程當(dāng)中首先要知道導(dǎo)數(shù)其實(shí)在這里邊是通過(guò)兩種具體的物理當(dāng)中的平均變化率到順勢(shì)變化率的逼近和另一類(lèi)幾何當(dāng)中的割線斜率到切線斜率這樣的具體的實(shí)例來(lái)抽象出一般的形式。
所以下邊的定義的內(nèi)容就是把具體問(wèn)題一般化的體現(xiàn)。所以對(duì)于函數(shù)y等于fx設(shè)自變量x到x0變化寫(xiě)成x0加上detax，函數(shù)值的變化是fx零加detax，從x、fx零變化到這，x的變化derxy的變化量就可以表示上dery，dery比derx就是可以寫(xiě)成這種形式。
上邊這些部分都沒(méi)有什么，主要是對(duì)下邊這部分的理解。如果當(dāng)d、n、x趨近于零時(shí)平均變化率無(wú)限的接近確定的值，這里邊要注意確定的值是同一個(gè)確定的值，這里邊要搞清楚，即使是有，y等于fx，在x等于零處是可導(dǎo)的。把確定的值叫做fx在x等于x零時(shí)的倒數(shù)，記住f撇x0或者是y撇x等于x0。
根據(jù)抽象出來(lái)的一般形式，我是對(duì)平均的變化取極限得到瞬時(shí)的變化，對(duì)這個(gè)形式要理解好。在這里邊在講概念的時(shí)候就要注意，在有極限的前提必須無(wú)限的去趨近于這個(gè)數(shù)平均變化率。所以在這里邊要保證的，如果這個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處，這是某一點(diǎn)處的倒數(shù)，在這一點(diǎn)處一定要注意幾個(gè)問(wèn)題。
·第一個(gè)必須是要連續(xù)的，必須是要連續(xù)的連續(xù)才能得到dot y和dot x趨近的情況。如果不連續(xù)，那這個(gè)趨近性不可能無(wú)限趨近于零。所以這是第一個(gè)。
·當(dāng)然對(duì)于連續(xù)的性的證明，可導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性證明這是大學(xué)要求的內(nèi)容，在這里不做要求就知道當(dāng)它無(wú)限的x無(wú)限曲徑小的時(shí)候y也取決于無(wú)限小的時(shí)候，在這里邊就說(shuō)明它們一定是連著的。
·但是連續(xù)還要注意第二個(gè)問(wèn)題，一定得是平滑的。為什么說(shuō)是平滑的？如果不平滑舉一個(gè)例子，比如對(duì)于這個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)圖像是連續(xù)的，在這一點(diǎn)是一個(gè)x0，它是一個(gè)x0，對(duì)于x0就是一個(gè)有尖的。
如果這是一個(gè)直線會(huì)發(fā)現(xiàn)這邊的倒數(shù)，倒數(shù)知道它是切線的斜率，所以左側(cè)的斜率k1和右側(cè)的斜率k2，這個(gè)k1明顯是不等于k2的，就不可能說(shuō)是無(wú)限趨近于一個(gè)確定的數(shù)，這不是一個(gè)確定的數(shù)。
所以必須滿(mǎn)足在這個(gè)位置導(dǎo)出研究局部性質(zhì)，這個(gè)局部一定是需要是平滑的，不可能出現(xiàn)這種帶尖的，也就說(shuō)沒(méi)有尖，不能有尖，有尖這個(gè)函數(shù)在這個(gè)尖處就是沒(méi)有倒數(shù)的。
所以從概念的理解上，在理解倒數(shù)的概念的時(shí)候要抓住兩點(diǎn)，連續(xù)平滑曲線才具有在某一點(diǎn)處的倒數(shù)，連續(xù)平滑曲線上才能取到x0，x0能夠進(jìn)行刻到。在高中研究的范圍內(nèi)，所有研究的函數(shù)一般在出題的情況下給出來(lái)的都是導(dǎo)都是刻刀的，所以沒(méi)有過(guò)分的去強(qiáng)調(diào)概念里邊這個(gè)問(wèn)題。
但是對(duì)于概念的理解要逐個(gè)逐句的去分析它的形式、表示等等這些問(wèn)題。
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