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大家好，我是專注于高中數學教學的老呂。從今天開始就開始學習新的一章，叫做一元函數的導數及其應用。有過高中教學經驗的老師們都知道導數一般會出現在高考的壓軸題的當中，而且也是學習大學數學的基礎性的東西。
先看對于書當中的要求，書中的前沿部分已經明確了導數通過函數的概念是刻畫靜態、數額與刻畫動態現象的函數的重要概念。在函數深入研究當中創建了微積分，說明微積分的作用會分兩次去解決這個問題。
·第一個就是先講倒數，倒數的概念需要知道什么？
·第二個就要講一下微積分和倒數之間的關系。微積分的創立主要于四類科學問題有關：一是路程與時間函數，二是曲線的切線，三是函數最大至最小值，還有四個球長度、面積、中心等這樣的問題。
然后倒數是微分當中的核心，為積分當中一個合集體現了現在函數基本概念。在這里邊一定要注意這句話，倒數是定量刻畫函數局部，局部的變化一定要搞清楚研究函數的增減、變化的快慢、最大最小值等的基本方法，因而在解決諸多增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實際問題的基本工具。
所以在本章就要學習導出的概念，導出的基本運算體會導出的內涵和思想感悟極限的思想。
接下來來看一下導數的概念。在導數的概念的過程當中首先要知道導數其實在這里邊是通過兩種具體的物理當中的平均變化率到順勢變化率的逼近和另一類幾何當中的割線斜率到切線斜率這樣的具體的實例來抽象出一般的形式。
所以下邊的定義的內容就是把具體問題一般化的體現。所以對于函數y等于fx設自變量x到x0變化寫成x0加上detax，函數值的變化是fx零加detax，從x、fx零變化到這，x的變化derxy的變化量就可以表示上dery，dery比derx就是可以寫成這種形式。
上邊這些部分都沒有什么，主要是對下邊這部分的理解。如果當d、n、x趨近于零時平均變化率無限的接近確定的值，這里邊要注意確定的值是同一個確定的值，這里邊要搞清楚，即使是有，y等于fx，在x等于零處是可導的。把確定的值叫做fx在x等于x零時的倒數，記住f撇x0或者是y撇x等于x0。
根據抽象出來的一般形式，我是對平均的變化取極限得到瞬時的變化，對這個形式要理解好。在這里邊在講概念的時候就要注意，在有極限的前提必須無限的去趨近于這個數平均變化率。所以在這里邊要保證的，如果這個函數在某一點處，這是某一點處的倒數，在這一點處一定要注意幾個問題。
·第一個必須是要連續的，必須是要連續的連續才能得到dot y和dot x趨近的情況。如果不連續，那這個趨近性不可能無限趨近于零。所以這是第一個。
·當然對于連續的性的證明，可導函數的連續性證明這是大學要求的內容，在這里不做要求就知道當它無限的x無限曲徑小的時候y也取決于無限小的時候，在這里邊就說明它們一定是連著的。
·但是連續還要注意第二個問題，一定得是平滑的。為什么說是平滑的？如果不平滑舉一個例子，比如對于這個函數，這個函數圖像是連續的，在這一點是一個x0，它是一個x0，對于x0就是一個有尖的。
如果這是一個直線會發現這邊的倒數，倒數知道它是切線的斜率，所以左側的斜率k1和右側的斜率k2，這個k1明顯是不等于k2的，就不可能說是無限趨近于一個確定的數，這不是一個確定的數。
所以必須滿足在這個位置導出研究局部性質，這個局部一定是需要是平滑的，不可能出現這種帶尖的，也就說沒有尖，不能有尖，有尖這個函數在這個尖處就是沒有倒數的。
所以從概念的理解上，在理解倒數的概念的時候要抓住兩點，連續平滑曲線才具有在某一點處的倒數，連續平滑曲線上才能取到x0，x0能夠進行刻到。在高中研究的范圍內，所有研究的函數一般在出題的情況下給出來的都是導都是刻刀的，所以沒有過分的去強調概念里邊這個問題。
但是對于概念的理解要逐個逐句的去分析它的形式、表示等等這些問題。
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