本文為“2022年第四屆數(shù)學(xué)文化征文活動

生活中的“家常便飯”——數(shù)的表示方法

作者 : 林華展

作品編號：057

暑假里，我饒有興致地看著一本書，而這本書，便是日本作家遠(yuǎn)山啟寫的——《數(shù)學(xué)女王的邀請 : 初等數(shù)論入門》。而其中的第三章——數(shù)的表示方法，令我記憶深刻。

其實(shí)，早在五千多年前，世界就誕生了第一個文明——華夏文明。而人民最早的記事、記數(shù)方式，便是“結(jié)繩記事”（如圖1）。這是古人擺脫時空限制記錄事實(shí)、進(jìn)行傳播的一種手段之一，它發(fā)生在語言產(chǎn)生以后、文字出現(xiàn)之前的漫長年代里。而雖然這提供了記憶方法，但當(dāng)時的單位并不怎么統(tǒng)一（如圖2），導(dǎo)致了一些重要信息的錯誤記載。幸好，公元三世紀(jì)，一位古印度的科學(xué)家發(fā)明了數(shù)字。那為什么叫“阿拉伯”數(shù)字呢？其實(shí)在兩百年后，團(tuán)結(jié)在伊斯蘭教下的阿拉伯人征服了周圍的民族，建立了東起印度，西從非洲到西班牙的阿拉伯帝國。

后來，這個伊斯蘭大帝國分裂成東、西兩個國家。由于這兩個國家的各代君王都獎勵文化和藝術(shù)，所以兩國的首都都非常繁榮，而其中特別繁華的是東都–巴格達(dá)，西來的希臘文化，東來的印度文化都匯集到這里來了。阿拉伯人將兩種文化理解消化，從而創(chuàng)造了獨(dú)特的——阿拉伯文化。

大約700年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地區(qū)，他們吃驚地發(fā)現(xiàn):被征服地區(qū)的數(shù)學(xué)比他們先進(jìn)。于是設(shè)法吸收這些數(shù)字。正由于數(shù)字從阿拉伯興盛并且阿拉伯人對數(shù)學(xué)研究的確作出了很多的歷史貢獻(xiàn)，便叫“阿拉伯?dāng)?shù)字”。

而在這以前的歐洲人民，只會用身體部位計數(shù)，非常麻煩。有沒有什么更便利的計數(shù)方式呢？于是，“十進(jìn)制”就隨之誕生。

所謂“十進(jìn)制”，是指一種“每數(shù)到十個，就捆成一捆”的計數(shù)方法，如果將一個小立方體看做“1”，那么表示出來將會這樣（如圖4）。

這時不難發(fā)現(xiàn)一個點(diǎn)：自然數(shù)是無窮無盡的。無論一個自然數(shù)有多大，只要我們耐心地不斷累加1，最終一定能得到它（如圖5）.

正如古人所說：“千里之行，始于足下。”如果想一目了然地觀察自然數(shù)，我們可以嘗試把它們排列到一條間隔均為1 的射線上。(如圖6)所示，射線的左端為1，向右則是無限延伸的。

這就是我們目前在用的數(shù)的名稱體系，不過它也存在缺陷。這迫使我們在數(shù)增長十倍時創(chuàng)造出對應(yīng)的計數(shù)單位。這樣計算起來很麻煩，比如我們無法快速計算出“七百八十六”加“二百五十五”的結(jié)果。有沒有什么方法克服用漢字表示的缺陷呢？這時，阿拉伯?dāng)?shù)字登場了。

阿拉伯?dāng)?shù)字的一大特征就是使用了。所謂“位值原理”,是指:仔細(xì)調(diào)查用“每數(shù)到十個，就捆成一捆”的形式表示的各個計數(shù)單位的個數(shù)，并按照從高到低的計數(shù)單位順序?qū)憘€數(shù)（相信大家能立馬理解），（如圖7）一個數(shù)可以用好幾種方式表達(dá)：而怎樣用一個通用公式表示出這種形式呢？可以將341寫成：的形式，那么一個任意n位數(shù)就可以寫成

但現(xiàn)在來說，還有許多種進(jìn)制，最常用的有二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制，若設(shè)進(jìn)制數(shù)為z，那么z進(jìn)制的數(shù)為“逢z進(jìn)一”。如果z>10，那么以z=16為例，各個數(shù)代表字符：

這不是生活中常用的方法，卻在科學(xué)、軍事、醫(yī)學(xué)上發(fā)揮著重要的作用。但怎么互相轉(zhuǎn)換呢？其實(shí)十進(jìn)制轉(zhuǎn)z進(jìn)制可以用“除z取余，逆序排列”方法。這樣的方法在一開始令我震驚，但現(xiàn)在漸漸理解了，其實(shí)也不難，只要這樣計算就可以了（如圖8）：

而十進(jìn)制轉(zhuǎn)z進(jìn)制則更為簡單，用的是“按權(quán)相加法”（如圖9）,只要把各位數(shù)拆后處理再相加即可。

二進(jìn)制是個巧妙的計算方法。為什么呢？這時候，乘法可不用再背乘法表了。例如計算13*19,而且19=24 2 1，13*19=13*(24 2 1)=13*16 13*4 13*1=208 26 13=247,所以13*19=247。是不是很巧妙啊？

生活中像非十進(jìn)制類計算的地方還有很多：電子電路采用二進(jìn)制是最方便的，因此二進(jìn)制得到了普遍地運(yùn)用。由于采用二進(jìn)制會使數(shù)字位數(shù)變得很長，而十六進(jìn)制和八進(jìn)制與二進(jìn)制之間的互換十分方便，因此程序員經(jīng)常使用十六進(jìn)制和八進(jìn)制，但當(dāng)前的計算機(jī)系統(tǒng)使用的基本上是二進(jìn)制系統(tǒng)，還有很多例子：三進(jìn)制：一季度有三個月 四進(jìn)制：一年有四季度 七進(jìn)制：一周有七天 九進(jìn)制：冬天交九，一個交九為九天 十二進(jìn)制：一年有十二個月；生肖為十二年一輪回……

總而言之，萬物都離不開數(shù)，而從數(shù)里延伸出的進(jìn)制，則優(yōu)點(diǎn)更加明顯，為人們提供了便利，讓人們從中受益。數(shù)學(xué)之美令人折服，期待它帶給我們美好的未來!

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001 閱讀《數(shù)學(xué)的故事》有感

002 我想和數(shù)學(xué)談場戀愛

003 數(shù)學(xué)“化錯”中的美

004 讓數(shù)學(xué)思考成為數(shù)學(xué)課堂的主旋律

005 盧梭的“錯”？

006 數(shù)學(xué)教學(xué)案例《找次品》

007 基于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的高效課堂創(chuàng)建——以等腰三角形的判定一課為例

008 從特殊到一般，引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維

009 數(shù)學(xué)文化融入家庭教育的研究

010 sin 震蕩函數(shù)的圖像分析

011 四階幻方的“太極圖”性質(zhì)

012 無理數(shù)的定義和實(shí)數(shù)理論的建立

013 一個容易被忽視的問題——數(shù)學(xué)文化

014 “雙減”背景下初中數(shù)學(xué)學(xué)科的合作學(xué)習(xí)方式探究

015 中學(xué)數(shù)學(xué)德育滲透的方法與路徑

016 《數(shù)學(xué)的力量》讀后感

017 基于數(shù)學(xué)文化的單元統(tǒng)整教學(xué)設(shè)計——以“圓的認(rèn)識與面積”教學(xué)為例

018 有助于數(shù)的理解的數(shù)字圈環(huán)

019 以折疊為例，探究生長型數(shù)學(xué)教學(xué)模式

020 我從事數(shù)學(xué)科普寫作的經(jīng)驗與啟示

021 在閱讀中滋長智慧——讀《教育智慧從哪里來》有感

022 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史 做數(shù)學(xué)的使者

023 開數(shù)學(xué)文化之窗 啟數(shù)學(xué)文化魅力——閱讀《美麗的數(shù)學(xué)》有感

024 “文學(xué)獨(dú)白”——數(shù)學(xué)教學(xué)因你而精彩

025 如何用多面體三等分正方體

026 HPM視角下《圓的周長》教學(xué)設(shè)計

027 被誤解的“勾股定理”

028 好玩的數(shù)學(xué)

029 幫小青蛙設(shè)計一個井

030 萬物的基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)——讀《從一到無窮大》有感

031 讀《孫子算經(jīng)》雞兔同籠問題有感

032 HPM視角下高中數(shù)學(xué)多樣化作業(yè)的設(shè)計

033 攀越高峰的領(lǐng)路人——數(shù)學(xué)文化

034 我的好兄弟：數(shù)學(xué)

035 細(xì)嗅數(shù)學(xué)文化之香

036 藤蔓的喜悅

037 物理力學(xué)中數(shù)學(xué)的影子

038 復(fù)數(shù)外傳

039 函數(shù)的歷史和發(fā)展

040 數(shù)學(xué)文化與我

041 數(shù)學(xué)之趣

042 探索數(shù)學(xué)知識背后的秘密

043 數(shù)學(xué)文化和我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

044 古代算數(shù)幾何形體——陽馬與鱉臑

045 數(shù)學(xué)文化與我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

046 我與數(shù)學(xué)文化

047 “形象”的數(shù)學(xué)

048 站在巨人的肩膀上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

049 從數(shù)學(xué)文化和個人影響的角度剖析對數(shù)的歷史

050 論數(shù)學(xué)文化

051 我與數(shù)學(xué)文化

052 正弦定理的源起與應(yīng)用

053 數(shù)學(xué)文化融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與思考

054 給數(shù)字愛好者的1個全新的0至9數(shù)字思考挑戰(zhàn)及應(yīng)用問題

056 奇妙的規(guī)律