一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：代數(shù)學(xué)簡稱代數(shù)，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，用字母代表數(shù)來研究數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和規(guī)律，從而把許多實(shí)際問題歸結(jié)為代數(shù)方程或方程組。在近代數(shù)學(xué)中，代數(shù)學(xué)的研究由數(shù)擴(kuò)大到多種其他對象，研究更為一般的代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)和規(guī)律。

根據(jù)研究對象的不斷擴(kuò)充，代數(shù)學(xué)的發(fā)展可以被分為算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、近代代數(shù)和現(xiàn)代代數(shù)五個(gè)歷史時(shí)期。算術(shù)是代數(shù)的前身，也被看作代數(shù)的一部分。

小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有出現(xiàn)“代數(shù)學(xué)”的定義，但是在四年級總復(fù)習(xí)時(shí)開始用到“數(shù)與代數(shù)”一詞。

二．概念解讀

“代數(shù)”一詞，來自拉丁文“algebra”，但它又是從阿拉伯文變化而來的，原意是“還原”或“移項(xiàng)”的意思。我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年首先使用“代數(shù)”這個(gè)名詞，他將英國數(shù)學(xué)家棣么甘所著的書Elemants of Algebra定名為《代數(shù)學(xué)》。

小學(xué)階段主要研究的是“算術(shù)”和“初等代數(shù)”，所以在小學(xué)教材中沒有直接出現(xiàn)“代數(shù)”一詞，而是做了一點(diǎn)鋪墊，稱這部分內(nèi)容為“數(shù)與代數(shù)”。

算術(shù)是研究數(shù)在加、減、乘、除、乘方和開方等運(yùn)算下的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。而數(shù)的概念是隨著歷史的發(fā)展不斷擴(kuò)充的。我們的祖先由于記事和分配的需要，頭腦中逐漸抽象出了數(shù)的概念。古希臘人曾用小石子記錄牲畜的頭數(shù)或部落的人數(shù)，現(xiàn)在使用的英語單詞calculate（計(jì)算）一詞就是從希臘文calculus（石卵）演變而來的。結(jié)繩記事、刻痕計(jì)數(shù)、擺小棍等也是古人常用的計(jì)數(shù)方法。這些辦法代代使用，逐漸由少到多地形成了自然數(shù)的概念并且產(chǎn)生了記數(shù)的符號。雖然能夠?qū)懗鰜淼闹皇怯邢迋€(gè)，但是人們已經(jīng)逐漸認(rèn)識(shí)到自然數(shù)有無限多個(gè)。隨著時(shí)間推移，人們逐漸發(fā)現(xiàn)，僅僅用自然數(shù)表示事物的多少已經(jīng)不夠了。比如5個(gè)人分4件東西，每個(gè)人該得幾件呢？用自然數(shù)就無法表示，于是產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。自然數(shù)（包括零）和正分?jǐn)?shù)，通常稱為算術(shù)數(shù)。非零自然數(shù)也稱為正整數(shù)。算術(shù)數(shù)及其運(yùn)算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。

隨著認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展，又逐漸產(chǎn)生了負(fù)數(shù)的概念。正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零，統(tǒng)稱為整數(shù)。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。數(shù)的范圍被擴(kuò)充了，人們的計(jì)算更方便了。后來又有了無理數(shù)（這部分內(nèi)容集中在中學(xué)學(xué)習(xí)，在小學(xué)階段我們最熟悉的圓周率∏就是其中之一。遺憾的是，在小學(xué)階段我們認(rèn)識(shí)的無理數(shù)僅此一個(gè)，實(shí)在太少了，以至于有學(xué)生認(rèn)為無理數(shù)很少，其實(shí)無理數(shù)比有理數(shù)多得多）。有理數(shù)和無理數(shù)一起統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。數(shù)的范圍擴(kuò)大了，各種數(shù)學(xué)理論的研究就得以深化。后來實(shí)數(shù)域又被擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)域。

盡管人們對數(shù)的歸類法還有某些分歧，但在承認(rèn)數(shù)的概念還會(huì)不斷發(fā)展這一點(diǎn)上意見是一致的。到目前為止，數(shù)的家庭已發(fā)展得十分龐大。關(guān)于復(fù)數(shù)部分見下圖。

初等代數(shù)是研究數(shù)和字母的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的，更確切地說，是研究有理數(shù)、實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，以及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。初等代數(shù)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展。在古代，當(dāng)算術(shù)里積累了大量的各種數(shù)量問題的解法后，為了尋求有系統(tǒng)的、更普遍的方法，以解決各種數(shù)量關(guān)系的問題，就產(chǎn)生了以解方程的原理為中心問題的初等代數(shù)。

代數(shù)學(xué)的起點(diǎn)是用字母表示數(shù)。在人類歷史的發(fā)展過程中，人們最先接觸的是具體的數(shù)量，從具體的數(shù)量到抽象的數(shù)是人類認(rèn)識(shí)上的第一次飛躍，也由此產(chǎn)生了算術(shù)理論。隨著生產(chǎn)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)算術(shù)中的許多現(xiàn)象具有共同的特征，這時(shí)，只用幾組算式來表示，就不能代表這幾組算式的一般性規(guī)律，若是用語言文字表達(dá)又很麻煩。數(shù)不夠用了，必然要引起數(shù)學(xué)史上第二次抽象—用字母表示數(shù)。歷經(jīng)2000多年，最終形成了用字母表數(shù)的方法，從此貫穿于全部數(shù)學(xué)中。由此，數(shù)學(xué)在表達(dá)方法、解題思想和研究方法方面都發(fā)生了深刻的變化。

有了字母表示數(shù)，代數(shù)學(xué)中的代數(shù)式、代數(shù)方程便出現(xiàn)了。因此，代數(shù)可以理解為“用字母代替數(shù)”，表明它比算術(shù)更高明。有了字母表示數(shù)，數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)、定律、法則、運(yùn)算律等都能用字母公式表達(dá)出來了。

三．教學(xué)建議

①“數(shù)與代數(shù)”部分是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，貫穿于一至九年級。它主要包括數(shù)的概念、數(shù)的運(yùn)算、數(shù)量的估計(jì)：字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運(yùn)算：方程、方程組、不等式，函數(shù)等。由于此部分內(nèi)容多、跨度大，把握好核心概念就顯得尤為突出。如對“數(shù)感”和“符號意識(shí)”的培養(yǎng)是這部分內(nèi)容所承載的重要任務(wù)。（具體要求可以參考《（義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（201 1年版））解讀》）

②了解相關(guān)內(nèi)容的本質(zhì)與發(fā)展過程，從整體上認(rèn)識(shí)相關(guān)概念方法的發(fā)展脈絡(luò)，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。例如，在六年級總復(fù)習(xí)時(shí)，教師在與學(xué)生交流了學(xué)過哪些數(shù)之后，問：“數(shù)數(shù)的時(shí)候，有自然數(shù)就夠了，為什么還要有這么多的數(shù)呢？我們一起來回顧一下。教師出示數(shù)的發(fā)展過程的圖片和簡短文字，進(jìn)而在學(xué)生解釋的基礎(chǔ)上講解數(shù)的發(fā)展史，在借助于數(shù)軸將各種數(shù)進(jìn)行分類，形成初級網(wǎng)絡(luò)。這樣，學(xué)生在了解歷史及活動(dòng)的過程中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了數(shù)。這樣構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的教學(xué)，不僅有利于學(xué)生整體把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，還能深化學(xué)生對每部分知識(shí)的理解和應(yīng)用，而且能從中提煉數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的能力水平。

四．推薦閱讀

（1）《數(shù)學(xué)的源于流》（張順燕，高等教育出版社，2003）

該書的第十章第一節(jié)主要論述了什么是代數(shù)。

（2）《數(shù)學(xué)史概論》（李文林，高等教育出版社，2002）

該書關(guān)于代數(shù)學(xué)有非常詳細(xì)的闡述，值得大家學(xué)習(xí)。