一、橢圓方程.
1. 橢圓方程的第一定義：
|PF?|+|PF?|=2a>|F?F?|方程為橢圓
|PF?|+|PF?|=2a<|F?F?|無軌跡
|PF?|+|PF?|=2a=|F?F?|以F?,F?為端點的線段
⑴①橢圓的標準方程：
i. 中心在原點，焦點在x軸上：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0). ii. 中心在原點，焦點在y軸上：y2/a2+x2/b2=1(a>b>0).
②一般方程：Ax2+By2=1(A>0,B>0)
③橢圓的標準參數(shù)方程：x2/a2+y2/b2=1的參數(shù)方程為{x=acosθ.y=bsinθ.（一象限θ應是屬于0<θ<π/2）.
⑵①頂點：(±a,0)(0,±b)或(0,a±)(±b,0)
②軸：對稱軸：x軸，y軸；長軸長2a，短軸長2b
③焦點：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c)
④焦距：|F?F?|=2c,c=√(a2-b2)
⑤準線：x=±a2/c或y=±a2/c
⑥離心率：e=c/a(0<e<1)
⑦焦點半徑：
i.設P(x0.y0) 為橢圓x2/b2+y2/a2=1上的一點，F(xiàn)?,F?為左、右焦點，則|PF?|=a+ex0,|PF?|=a-ex0=>由橢圓方程的第二定義可以推出.
ii.設P(x0,y0)為橢圓x2/b2+y2/a2=1(a>b>0)上的一點，F(xiàn)?,F?為上、下焦點，則|PF?|=a+ey0,|PF?|=a-ey0=>由橢圓方程的第二定義可以推出.
由橢圓第二定義可知：|pF?|=e(x0+a2/c)=a+ex0(x0<0),|pF?|=e(a2/c-x0)=ex0-a(x0>0)歸結(jié)起來為“左加右減”.
注意：橢圓參數(shù)方程的推導：得N(acosθ,bsinθ)→方程的軌跡為橢圓.
⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標：d=2b2/a2(-c,b2/a)和(c,b2/a)
⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率是e=c/a(c=√(a2-b2))，方程x2/a2+y2/b2=t(t是大于0的參數(shù)，a>b>0)的離心率也是e=c/a 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.
⑸若P是橢圓：x2/a2+y2/b2=1上的點.F?,F?為焦點，若∠F?PF?=θ，則△F?PF?的面積為b2tanθ/2（用余弦定理與|PF?|+|PF?|=2a可得）. 若是雙曲線，則面積為b2·cotθ/2.
二、雙曲線方程.
1. 雙曲線的第一定義：
||PF?|-|PF?||=2a<|F?F?|方程為雙曲線
||PF?|-|PF?||=2a>|F?F?|無軌跡
||PF?|-|PF?||=2a=|F?F?|以F?,F?的一個端點的一條射線
⑴①雙曲線標準方程：x2/a2-y2/b2=1(a,b>0),y2/a2-x2/b2=1(a,b>0). 一般方程：Ax2+Cy2=1(AC<0).
⑵①i. 焦點在x軸上：
頂點：(a,0),(-a,0) ;焦點：(c,0),(-c,0）;準線方程x=±a2/c; 漸近線方程：x/a±y/b=0或x2/a2-y2/b2=0.
ii. 焦點在y軸上：
頂點：(0,-a),(0,a). 焦點：(0,c),(0,-c). 準線方程：y=±a2/c. 漸近線方程：y/a±x/b=0或y2/a2-x2/b2=0，參數(shù)方程：{x=secθ,y=btanθ或{x=btanθ,y=asecθ .
②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c.
③離心率e=c/a.
④準線距2a2/c（兩準線的距離）；通徑2b2/a.
⑤參數(shù)關(guān)系c2=a2+b2,e=c/a.
⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程x2/a2-y2/b2=1（F?,F?分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）
“長加短減”原則：
⑶等軸雙曲線：雙曲線x2-y2=±a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x，離心率e=√2.
⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.x2/a2-y2/b2=λ與x2/a2-y2/b2=-λ互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：x2/a2-y2/b2=0.
⑸共漸近線的雙曲線系方程：x2/a2-y2/b2=λ(λ≠0)的漸近線方程為x2/a2-y2/b2=0如果雙曲線的漸近線為x/a±y/b=0時，它的雙曲線方程可設為x2/a2-y2/b2=λ(λ≠0).
例如：若雙曲線一條漸近線為y=1/2x且過p(3,-1/2)解：令雙曲線的方程為：
解：令雙曲線的方程為：x2/4-y2=λ(λ≠0)，代入(3,-1/2)得x2/8-y2/2=1.
⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：
區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；
區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；
區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；
區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；
區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.
（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入△法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.
⑺若P在雙曲線x2/a2-y2/b2=1，則常用結(jié)論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為m︰n.
簡證：d?/d?=|PF?|/e/|PF?|/e = m/n.
常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.
三、拋物線方程.
3. 設p>0，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：
注：①ay2+by+c=x頂點((4ac-b2)/4a-b/2a).
②y2=2px(p≠0)則焦點半徑|PF|=|x+P/2|;x2=2py(p≠0)則焦點半徑為|PF|=|y+p/2|.
③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.
④y2=2px（或x2=2py）的參數(shù)方程為{x=2pt2,y=2pt（或{x=2pt,y=2pt2）（t為參數(shù)）.
四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..
4. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F和定直線ι的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡.
當0<e<1時，軌跡為橢圓；
當e=1時，軌跡為拋物線；
當e>1時，軌跡為雙曲線；
當e=0時，軌跡為圓（e=c/a，當c=0,a=b時）.
5. 圓錐曲線方程具有對稱性. 例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關(guān)于原點對稱的.
因為具有對稱性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點重合即可.
注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)
1. 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應性質(zhì).
2. 等軸雙曲線
3. 共軛雙曲線
5. 方程y2=ax與x2=ay的焦點坐標及準線方程.
6.共漸近線的雙曲線系方程.
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