高中部分講解了及其稀少的三角恒等變換，初略翻了一遍教科書，只論證了cos(α+β)的等式變換，但實(shí)際上有許多恒等的三角變換，它們是在解決代數(shù)式替換有利的工具，本文在讀者理解cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ的基礎(chǔ)上論證如何得出其它的恒等式。
首先要理解三角函數(shù)是怎么定義的，在直角坐標(biāo)系的圓內(nèi)一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為H，θ角對(duì)應(yīng)的邊為O，它的臨邊為A，則有下面的定義：
直角三角形三邊形成的比
取一個(gè)單位圓，那么有：
單位圓上某點(diǎn)的坐標(biāo)與角的關(guān)系
現(xiàn)在假定你已經(jīng)有平面向量的基本知識(shí)，即矢量的數(shù)量積（點(diǎn)積）和矢量投影的概念，就可以很容易證明cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ。如圖：在單位圓中設(shè)OM，ON的向量為u，v，根據(jù)向量的點(diǎn)積定義
u.v=（i cosα+j sinα）(i cosβ+j sinβ)
= cosα cosβ+sinα sinβ （1）
又因?yàn)楦鶕?jù)u.v的物理意義代表力u（假設(shè)u是力）在v方向所作的功，只有余弦方向才做功，因此
u.v=IuI.IvIcos(α-β), 由于IuI=IvI=1. （2）
所以（1）=（2），故證明了cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ （3）
單位圓兩個(gè)矢量半徑
現(xiàn)在我們根據(jù)（3）來(lái)陸續(xù)推導(dǎo)其它三角公式。首先要有一些基本的誘導(dǎo)公式,如下圖：.
三角誘導(dǎo)公式
現(xiàn)在用誘導(dǎo)公式和(3)推導(dǎo)cos(α+β)的公式
cos(α+β)=cos［α+(-β)］= cosα cos(-β)+sinα sin(-β)= cosα cosβ-sinα sinβ
同理利用誘導(dǎo)公式可推導(dǎo)正弦的差和公式
sin(α+β)= cos［(π/2-α)-β］=cos(π/2-α)cosβ+sin(π/2-α)sinβ=sinα cosβ+cosα sinβ
利用這種方法大家推導(dǎo)其它的兩個(gè)角的和差恒等變換，這里給出公式：
和積公式
由上式很容易推導(dǎo)出倍角公式：
倍角公式
有時(shí)候還會(huì)用到由倍角變成單角的三角變換：
單角公式
由上面公式很容易求得半角公式，只要令θ=α/2帶入即可：
半角公式
另外還會(huì)遇到積化和差的問題,這里給出一個(gè)推導(dǎo)過程:
其它自己按上述方法可證如下積化和差的公式：
積化和差
將上式中的α用（α+β）/2代替, β用（α-β）/2代替后帶入積化和差公式可得和化積差公式：
和化積差
至此我們已經(jīng)列出了課本中沒有列出的三角恒等式，我們利用誘導(dǎo)公式和證明得出的cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ推導(dǎo)出了一系列公式，它們不需要死記硬背，忘了可以自己推導(dǎo)。
最后為了幫助大家記住cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ 和sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ，講個(gè)用聯(lián)想的記憶方法。
說(shuō)的是小明學(xué)習(xí)不用心，沒有學(xué)好三角變換，挨了老師的訓(xùn)，東北話叫挨摳（即摳賽因cosin=cos）心情比較抑郁，一天沒吃飯，減掉了很多肉（即cos(α+β)展開的中間用減號(hào)）。后來(lái)老師教他方法怎么推導(dǎo)和記憶，他很快就學(xué)會(huì)了，他在操場(chǎng)上曬陽(yáng)光（賽因sin開頭），心情非常愉快，當(dāng)天飯也吃多了，體重也增加了（即sin(α+β) 展開的中間用加號(hào)）。
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